ГДЗ 11 Дано: Параллелограмм ABCD, CD = 8, BC = 10. AM ⟂ BC (высота, опущенная на продолжение стороны BC за точку B)...
11
Дано:
Параллелограмм $ABCD$, $CD = 8$, $BC = 10$.
$AM \perp BC$ (высота, опущенная на продолжение стороны $BC$ за точку $B$),
$\angle MAB = 60^\circ$.
Найти:
Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$.
Решение:
-
В параллелограмме противоположные стороны равны:
$$ AB = CD = 8 $$$$ AD = BC = 10 $$ -
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$ (так как $\angle AMB = 90^\circ$):
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно:
$$ \angle ABM = 90^\circ - \angle MAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $$
- В прямоугольном треугольнике катет $AM$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$:
$$ AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$
- Отрезок $AM$ является высотой параллелограмма $ABCD$, проведенной к прямой, содержащей сторону $BC$.
Площадь параллелограмма находится по формуле $S = a \cdot h_a$:
$$ S_{ABCD} = BC \cdot AM = 10 \cdot 4 = 40 $$
Ответ: 40
12
Дано:
Параллелограмм $ABCD$.
$BK \perp AD$, точка $K$ лежит на стороне $AD$.
$AK = 8$, $KD = 24$, $\angle KBD = 45^\circ$.
Найти:
Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$.
Решение:
-
Найдем длину стороны $AD$:
$$ AD = AK + KD = 8 + 24 = 32 $$ -
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKD$ (так как $BK \perp AD$, $\angle BKD = 90^\circ$):
- По условию $\angle KBD = 45^\circ$, следовательно, треугольник $\triangle BKD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник:
$$ \angle BDK = 90^\circ - \angle KBD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $$
- Отсюда катеты равны:
$$ BK = KD = 24 $$
- Отрезок $BK$ является высотой параллелограмма, опущенной на сторону $AD$.
Площадь параллелограмма находится по формуле:
$$ S_{ABCD} = AD \cdot BK = 32 \cdot 24 = 768 $$
Ответ: 768