ГДЗ 21 Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB, ∠ OAD = ∠ OBC. а) Докажите, что △ CBO = △ DAO; б) найдит...
21
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в середине $O$ отрезка $AB$, $\angle OAD = \angle OBC$.
а) Докажите, что $\triangle CBO = \triangle DAO$;
б) найдите $BC$ и $CO$, если $CD = 26$ см, $AD = 15$ см.
Решение
Отрисовка SVG…
По условию $O$ — середина $AB$, значит
$$
AO = OB.
$$
а) Рассмотрим $\triangle DAO$ и $\triangle CBO$.
В них:
- $AO = OB$ — по условию;
- $\angle OAD = \angle OBC$ — по условию;
- $\angle AOD = \angle BOC$ — как вертикальные при пересечении прямых $AB$ и $CD$.
Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам:
$$
\triangle CBO = \triangle DAO.
$$
Что и требовалось доказать.
б) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
$$
BC = AD,\quad CO = DO.
$$
По условию $AD = 15$ см, поэтому
$$
BC = 15\text{ см}.
$$
Точка $O$ лежит на отрезке $CD$, поэтому $CD = CO + DO = 2CO$.
По условию $CD = 26$ см, поэтому
$$
CO = CD \div 2 = 26 \div 2 = 13\text{ см}.
$$
Ответ: $BC = 15$ см, $CO = 13$ см.