ГДЗ Задание 4 Условие: В узлах клетчатой сетки отметили две точки: A и B (рис. 13). Изобразите геометрическое место т...

Задание 4

Условие:
В узлах клетчатой сетки отметили две точки: A и B (рис. 13). Изобразите геометрическое место точек M, находящихся в узлах сетки и образующих прямой угол AMB.

Решение:

1. Геометрическое свойство: Геометрическим местом точек (ГМ Т), из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, является окружность с диаметром AB (без самих точек A и B).
2. Анализ координат:

Пусть точка А имеет координаты \((0, 0)\). Тогда, согласно рисунку, точка В смещена на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх, то есть имеет координаты \((1, 3)\).

3. Поиск узлов сетки: Нам нужно найти такие узлы сетки M(x, y), для которых выполняется условие перпендикулярности векторов \(\vec{MA}\) и \(\vec{MB}\). Это значит, что скалярное произведение векторов равно нулю:

\[(0 - x)(1 - x) + (0 - y)(3 - y) = 0\]

\[x^2 - x + y^2 - 3y = 0\]

4. Проверка ближайших узлов:

• Точка \(M_1(1, 0)\): \(1^2 - 1 + 0^2 - 3(0) = 0\). Условие выполняется. Угол \(AM_1B\) прямой (стороны идут по линиям сетки).
• Точка \(M_2(0, 3)\): \(0^2 - 0 + 3^2 - 3(3) = 0\). Условие выполняется. Угол \(AM_2B\) прямой (стороны идут по линиям сетки).

Других узлов сетки, лежащих на этой окружности, нет.

Ответ: Искомое ГМТ состоит из двух точек в узлах сетки, которые образуют с отрезком AB прямоугольник. Это точка, находящаяся на одной горизонтали с A и одной вертикали с B, а также точка на одной вертикали с A и одной горизонтали с B.